Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與⊙M相交于A、B、C、D四點(diǎn)，其中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（0，﹣2），點(diǎn)D在x軸上且AD為⊙M的直徑．點(diǎn)E是⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)劣弧 上的點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，且FH=1.5

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出△PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接BD，

∵AD是⊙M的直徑，∴∠ABD=90°

∴△AOB∽△ABD，

∴ = ，

在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，

根據(jù)勾股定理得：AB= ，

∴ ，

∴AD=5，

∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4，

∴D（4，0），

把點(diǎn)A（﹣1，0）、B（0，﹣2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：

，

解得： ，

∴拋物線表達(dá)式為：

（2）

解：連接FM，

在Rt△FHM中，F(xiàn)M= ，F(xiàn)H= ，

∴MH= =2，

OM=AM﹣OA= ﹣1= ，

∴OH=OM+MH= +2= ，

∴F（ ， ），

設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，

則： ，

∴直線BF的解析式為：y=x﹣2，

連接BF交x軸于點(diǎn)P，∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)P即為所求，

當(dāng)y=0時(shí)，x=2，

∴P（2，0）

（3）

解：如圖，CM=

拋物線 的對(duì)稱軸為直線x= ，

∵OM= ，∴點(diǎn)M在直線x= 上，

根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于直線x= 對(duì)稱，

∴點(diǎn)C（3，﹣2），

①當(dāng)CM=MQ= 時(shí)，點(diǎn)Q可能在x軸上方，也可能在x軸下方，

∴Q1（ ， ），Q2（ ， ），

②當(dāng)CM=CQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MQ，

∴MN=NQ=2，∴MQ=4，

∴Q3（ ，﹣4），

③當(dāng)CQ4=MQ4時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CR⊥MQ，Q4V⊥CM，

則：MV=CV= ，Q4V= ，

Rt△CRM∽R(shí)t△Q4VM，

∴ ，

解得：MQ4= ，

∴Q4（ ，﹣ ）

綜上可知，存在四個(gè)點(diǎn)，即：

Q1（ ， ），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣4），Q4（ ，﹣ ）

【解析】（1）首先根據(jù)圓的軸對(duì)稱性求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將A、B、D三點(diǎn)代入，即可求出本題的答案；（2）由于點(diǎn)E與點(diǎn)B 關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，連接BF，直線BF與x軸的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，據(jù)此即可得解；（3）從CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三個(gè)方面進(jìn)行分析，據(jù)此即可得解．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．