Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線y=﹣ +n的頂點(diǎn)P在直線y=﹣x+4上，與y軸交于點(diǎn)C（點(diǎn)P、C不與點(diǎn)B重合），以BC為邊作矩形BCDE，且CD=2，點(diǎn)P、D在y軸的同側(cè)．
（1）n=（用含m的代數(shù)式表示），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是（用含m的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時(shí)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（3）設(shè)矩形BCDE的周長(zhǎng)為d（d＞0），求d與m之間的函數(shù)表達(dá)式．
（4）直接寫出矩形BCDE有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）﹣m+4；﹣ m2﹣m+4
（2）

解：∵四邊形BCDE是矩形，

∴DE∥y軸．

∵CD=2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=2．

∴DE與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．

∴當(dāng)點(diǎn)P在矩形BCDE的邊DE上時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）．

∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

（3）

解：∵直線y=﹣x+4與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4）．

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)， ．

解得m1=0，m2=﹣3．

i）當(dāng)m＜﹣3或m＞0時(shí)，如圖①、②， ． ．

ii）當(dāng)﹣3＜m＜0時(shí)，如圖③， ．

（4）

解：如圖④⑤，點(diǎn)C、D在拋物線上時(shí)，由CD=2可知對(duì)稱軸為：x=±1，即m=±1；

如圖⑥⑦，點(diǎn)C、E在拋物線上時(shí)，由B（0，4）和CD=2得：E（﹣2，4）

則4=﹣ （﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解得： 、 ．

綜上所述：m=1、m=﹣1、 、 ．

【解析】解：（1）y=﹣ （x﹣m）2+n=﹣ x2+ mx﹣ m2+n，
∴P（m，n），
∵點(diǎn)P在直線y=﹣x+4上，
∴n=﹣m+4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣ m2+n=﹣ m2﹣m+4，
即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為：﹣ m2﹣m+4，
所以答案是：﹣m+4，﹣ m2﹣m+4；