Question

【題目】已知正方形ABCD，點(diǎn)M邊AB的中點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且∠AGB=90°，延長(zhǎng)AG、BG分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F．

①求證：BE=CF；
②求證：BE2=BCCE．
（2）如圖2，在邊BC上取一點(diǎn)E，滿足BE2=BCCE，連接AE交CM于點(diǎn)G，連接BG并延長(zhǎng)CD于點(diǎn)F，求tan∠CBF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，

∴∠ABG+∠CBF=90°，

∵∠AGB=90°，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠BAG=∠CBF，

∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

②∵∠AGB=90°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

∴MG=MA=MB，

∴∠GAM=∠AGM，

又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，

∴∠CGE=∠CBG，

又∠ECG=∠GCB，

∴△CGE∽△CBG，

∴ = ，即CG2=BCCE，

由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，

由①知BE=CF，

∴BE=CG，

∴BE2=BCCE；

（2）

解：延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠N=∠EAB，

又∵∠CEN=∠BEA，

∴△CEN∽△BEA，

∴ = ，即BECN=ABCE，

∵AB=BC，BE2=BCCE，

∴CN=BE，

∵AB∥DN，

∴ = = ，

∵AM=MB，

∴FC=CN=BE，

不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，BE=x，

由BE2=BCCE可得x2=1（1﹣x），

解得：x1= ，x2= （舍），

∴ = ，

則tan∠CBF= = = ．

【解析】（1）①由正方形的性質(zhì)知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，結(jié)合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，證△ABE≌△BCF可得；
②由RtABG斜邊AB中線知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM，結(jié)合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG，從而證△CGE∽△CBG得CG2=BCCE，由BE=CF=CG可得答案；（2）延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)N，證△CEN∽△BEA得BECN=ABCE，由AB=BC、BE2=BCCE知CN=BE，再由 = = 且AM=MB得FC=CN=BE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1、BE=x，根據(jù)BE2=BCCE求得BE的長(zhǎng)，最后由tan∠CBF= = 可得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對(duì)相似三角形的應(yīng)用的理解，了解測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．