Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).點(diǎn)在函數(shù)圖象上，軸，且，直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).

(1)求的值;

(2)如圖①，連接， 線(xiàn)段上的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F'恰好在線(xiàn)段BE上，求點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)如圖②,動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)分別與交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn).試問(wèn):直線(xiàn)右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn),使得與的面積相等，且線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小?如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）由條件可求得拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸，則可求得的值；由，可用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式可求得的值；

（2）可設(shè)，則可表示出的坐標(biāo)，由、的坐標(biāo)可求得直線(xiàn)的解析式，把坐標(biāo)代入直線(xiàn)解析式可得到關(guān)于t的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可表示出、、的長(zhǎng)，作，垂足為，則可求得的長(zhǎng)，用可表示出、、的坐標(biāo)，在中，由勾股定理可得到關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)的值，則可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，

解：（1）且軸，

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)

即，

，

，

代入：，

解得 (舍去），

.

（2）由（1）可知

則

由待定系數(shù)法可得直線(xiàn)BE的解析式為：

設(shè)由，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

則有：

（3）存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，．

作，垂足為，

△，

，

．

點(diǎn)在直線(xiàn)的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

在中， ，

時(shí)，取最小值1．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上可知存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，其坐標(biāo)為．