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【題目】已知中,,,過頂點作射線.

1)當射線外部時,如圖①,點在射線上,連結、,已知,,.

①試證明是直角三角形;

②求線段的長.(用含的代數式表示)

2)當射線內部時,如圖②,過點于點,連結,請寫出線段、的數量關系,并說明理由.

【答案】(1)①詳見解析;(2));(2,理由詳見解析.

【解析】

1)①根據勾股定理的逆定理進行判斷;

②過點CCECDDB的延長線于點E,利用同角的余角相等證明∠3=4,∠1=E,進而證明△ACD≌△BCE,求出DE的長,再利用勾股定理求解即可.

2)過點CCFCDBD的延長線于點F,先證∠ACD=BCF,再證△ACD≌△BCF,得CD=CFAD=BF,再利用勾股定理求解即可.

1)①∵

又∵

∴△ABD是直角三角形

②如圖①,過點CCECDDB的延長線于點E,

∵∠3+BCD=ACD=90°,∠4+BCD=DCE=90°

∴∠3=4

由①知△ABD是直角三角形

又∵

∴∠1=E

中,

∴△ACD≌△BCE

,

又∵

∴由勾股定理得

2ADBDCD的數量關系為:,

理由如下:

如圖②,過點CCFCDBD的延長線于點F,

∵∠ACD=90°+5,∠BCF=90°+5

∴∠ACD=BCF

BDAD

∴∠ADB=90°

∴∠6+7=90°

∵∠ACB=90°

∴∠9=8=90°

又∵∠6=8

∴∠7=9

∴△ACD≌△BCF

CD=CFAD=BF

又∵∠DCF=90°

∴由勾股定理得

DF=BF-BD=AD-BD

練習冊系列答案
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