Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E為A1C1的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：CE⊥平面AB1C1；
（Ⅱ）若AA1= ，∠BAC=30°，求點(diǎn)E到平面AB1C的距離．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：∵CC1⊥平面A1B1C1 ， B1C1平面A1B1C1 ， ∴CC1⊥B1C1 ， 又B1C1⊥A1C1 ，
∴B1C1⊥平面AA1C1C，又CE平面AA1C1C，
∴B1C1⊥CE，
∵E是A1C1的中點(diǎn)， = ，
∴ = = ，∴ ，
∴Rt△CC1E∽R(shí)tACC1 ， ∴∠C1CE=∠CAC1 ，
∴∠CAC1+∠ACE=90°，即CE⊥AC1 ，
又AC1平面AB1C1 ， B1C1平面AB1C1 ， B1C1∩AC1=C1 ，
∴CE⊥平面AB1C1 ．
（II）∵AA1= ， = ，
∴C1E= ，AC=2 ，
∴S△ACE= =3 ，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=2 ，
∴AB=4，B1C1=BC=2，
∴AB1= ，B1C= ，V = = =2 ，
∴AC2+B1C2=AB12 ， ∴AC⊥Bspan>1C，
∴S = = ，
設(shè)E到平面AB1C的距離為h，則V = = ，
∵V =V ，∴2 = ，解得h= ．
點(diǎn)E到平面AB1C的距離為
【解析】（1）證明B1C1⊥平面ACC1A1得出B1C1⊥CE，利用相似三角形證明CE⊥AC1 ， 故而CE⊥平面AB1C1；（2）求出各線段的長(zhǎng)，根據(jù)V =V 解出點(diǎn)E到平面AB1C的距離．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．