Question

【題目】四邊形是矩形，點在邊上，，點與點關于直線對稱，連接．

（1）如圖，若四邊形是正方形，求的度數；

（2）連接，設探究當時a與b的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）a＝b或 a＝b

【解析】

（1）連接DG，交AP于點E，連接AG，根據對稱的性質和正方形的性質，可以求到AG＝AB，∠GAB＝30°，再結合等腰三角形的性質即可求得答案；

（2）連接DG，AG，先判斷△ADG是等邊三角形，根據等邊三角形的性質和矩形的性質推到△GAB≌△GDC；當∠CGB＝120°時，點G可能在矩形ABCD的內部或外部，所以這里需要分兩種情況，分別畫圖求解即可．

（1）解：連接DG，交AP于點E，連接AG，

∵點G與點D關于直線AP對稱，

∴AP垂直平分DG，

∴AD＝AG.

∵在△ADG中，AD＝AG，AE⊥DG，

∴∠PAG＝∠PAD＝30°．

又∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°

∴AG＝AB，∠GAB＝∠DAB－∠PAD－∠PAG＝30°，

∴在△GAB中，∠ABG＝∠AGB＝＝75°

∴∠GBC＝∠ABC－∠ABG＝15°

（2）解：連接DG，AG，

由（1）可知，在△ADG中，AD＝AG，

∠DAG＝∠PAD＋∠PAG＝60°，

∴△ADG是等邊三角形，

∴DG＝AG＝AD，∠DAG＝∠ADG＝∠DGA＝60°，

又∵ 在矩形ABCD中，AB＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠DAB－∠DAG＝∠ADC－∠ADG，

即∠GAB＝∠GDC＝30°，

∴△GAB≌△GDC，

∴GB＝GC；

當∠CGB＝120°時，點G可能在矩形ABCD的內部或外部，

若點G在矩形ABCD的內部，

∵在△BGC中，GB＝GC，∠CGB＝120°，

∴∠GBC＝=30°，

∴∠GBA＝∠ABC－∠GBC＝90°－30°＝60°，

在△ABG中，∠AGB＝180°－∠GAB－∠GBA＝90°，

∴在Rt△ABG中，cos∠GAB＝，

∴a＝b，

若點G在矩形ABCD的外部，

在△BGC中，∠GBC＝30°，

∴∠ABG＝120°，

又∵∠GAB＝30°，

∴∠AGB＝180°－30°－120°＝30°，

∴BA＝BG，

過點B作BH⊥AG，垂足為H，

∴AH＝AG＝b，

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠HAB＝30°，

∴cos∠HAB＝，

∴a＝b，

在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，∠PAD＝30°，

∴tan∠PAD＝，

∴DP＝b；

所以無論點G在矩形ABCD內部還是點G在矩形ABCD外部，都有DP≤DC，均符合題意；

綜上，當∠CGB＝120°時a與b的數量關系為a＝b或 a＝b．