Question

【題目】如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，且EF∥BD．
（1）求證；四邊形OBFE是平行四邊形；
（2）當(dāng)線段AD和BD之間滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形OBFE是矩形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．

又∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE∥BC，

又∵點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，

∴OE∥BF．

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四邊形OBFE是平行四邊形

（2）當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形．

理由：由（1）可知四邊形OBFE是平行四邊形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF=90°，

∴四邊形OBFE是矩形．

【解析】（1）首先證明OE是△ABC的中位線，推出OE∥BC，由EF∥OB，推薦可提出四邊形OBFE是平行四邊形．（2）當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形． 只要證明∠EOB=90°即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．