Question

【題目】如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=﹣x2﹣2mx（m＞1）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．過(guò)點(diǎn)P（﹣1，m）作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)B，BC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C．

（1）當(dāng)m=2時(shí)．
①求線段BC的長(zhǎng)及直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
②若動(dòng)點(diǎn)Q在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)Q在何處時(shí)，△QAB的面積最大？
③若點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上，且PF=PC，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)F在坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，連接CA、CP，問(wèn)m為何值時(shí)，CA⊥CP？

Answer 1

【答案】
（1）

解：①當(dāng)m=2時(shí)，y=﹣x2﹣4x，

令y=0，得﹣x2﹣4x=0，

解得x1=0，x2=﹣4，

則A（﹣4，0）．

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=3，

則B（﹣1，3）．

∵拋物線y=﹣x2﹣4x的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣2，

∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=﹣2對(duì)稱(chēng)，

∴C（﹣3，3），BC=2．

設(shè)直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b．

∵A（﹣4，0）、B（﹣1，3）在直線AB上，

∴ ，

解得

∴直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x+4；

②過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，交AB于點(diǎn)E（如圖1）．

由題意可設(shè)Q（a，﹣a2﹣4a），則E（a，a+4），

∴QE=（﹣a2﹣4a）﹣（a+4）=﹣a2﹣5a﹣4．

∴S△QAB= QEAD

= ×（﹣a2﹣5a﹣4）×3

=﹣ （a+ ）2+ ，

∴當(dāng)a= 時(shí)，△QAB的面積最大，此時(shí)Q的坐標(biāo)為（ ， ）；

③分兩種情況：

若點(diǎn)F在x軸上，設(shè)F（x，0）．

∵PF=PC，P（﹣1，2），C（﹣3，3），

∴（x+1）2+（2﹣0）2=（﹣3+1）2+（3﹣2）2，

整理，得x2+2x=0，

解得x1=﹣2，x2=0，

∴F1（﹣2，0），F(xiàn)2（0，0）；

若點(diǎn)F在y軸上，設(shè)F（0，y）．

∵PF=PC，P（﹣1，2），C（﹣3，3），

∴（0+1）2+（y﹣2）2=（﹣3+1）2+（3﹣2）2，

整理，得y2﹣4y=0，

解得y1=4，y2=0，

∴F3（0，4），F(xiàn)4（0，0）與F2（0，0）重合；

綜上所述，符合條件的點(diǎn)F坐標(biāo)為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（0，0），F(xiàn)3（0，4）

（2）

解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖2）．

∵P（﹣1，m），B（﹣1，2m﹣1），

∴PB=m﹣1．

∵拋物線y=﹣x2﹣2mx的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣m，其中m＞1，

∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=﹣m對(duì)稱(chēng)，

∴BC=2（m﹣1），

∴C（1﹣2m，2m﹣1），H（1﹣2m，0），

∴CH=2m﹣1，

∵A（﹣2m，0），

∴AH=1．

由已知，得∠ACP=∠BCH=90°，

∴∠ACH=∠PCB．

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

∴△ACH∽△PCB，

∴ ，即 ，

∴m=

【解析】（1）①將m=2代入y=﹣x2﹣2mx，得出y=﹣x2﹣4x，求出A（﹣4，0），B（﹣1，3），由B、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線y=﹣x2﹣4x的對(duì)稱(chēng)軸x=﹣2對(duì)稱(chēng)，得出BC=2，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；②過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，設(shè)Q（a，﹣a2﹣4a），則E（a，a+4），QE=（﹣a2﹣4a）﹣（a+4）=﹣a2﹣5a﹣4，由S△QAB= QEAD求出S△QAB=﹣ （a+ ）2+ ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；③分兩種情況進(jìn)行討論：若點(diǎn)F在x軸上，設(shè)F（x，0）．根據(jù)PF=PC列出方程，解方程得到F1（﹣2，0），F(xiàn)2（0，0）；若點(diǎn)F在y軸上，設(shè)F（0，y），根據(jù)PF=PC列出方程，解方程得到F3（0，4），F(xiàn)4（0，0）與F2（0，0）重合；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．先求出PB=m﹣1，BC=2（m﹣1），CH=2m﹣1，AH=1，再證明△ACH∽△PCB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 ，即 ，解方程可求出m的值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．