Question

問題背景：“在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為

5

、

10

、

13

，求這個三角形的面積．”
小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)絡(luò)中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），
（1）如圖所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積是

3.5

．
（2）如圖我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△DCE三邊的長分別為

m2+16n2

、

9m2+4n2

、

4m2+4n2

（m＞0，n＞0，且m≠n），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）如圖1所示，可得出四邊形MNCP為正方形，△ABM、△ANC及△PBC都為直角三角形，由正方形MNCP的面積-直角三角形AMB的面積-直角三角形ANC的面積-直角三角形PBC的面積，求出即可；
（2）如圖所示構(gòu)造網(wǎng)格，網(wǎng)格由邊長分別為m與n的36個小長方形構(gòu)成，由矩形DEGK的面積-直角三角形DEF的面積-直角三角形HGF的面積-直角三角形DHK的面積，求出即可．

解答：
解：（1）如圖1所示，可得出四邊形MNCP為正方形，△ABM、△ANC及△PBC都為直角三角形，
∴S_△ABC=S_{正方形MNPC}-S_△ABM-S_△ANC-S_△PBC=3×3-

1

2

×2×1-

1

2

×2×3-

1

2

×1×3=9-1-3-1.5=3.5；
（2）如圖所示，網(wǎng)格由邊長分別為m與n的小長方形構(gòu)成，
在Rt△DEF中，EF=m，DE=4n，
根據(jù)勾股定理得：DF=

DE2+EF2

=

m2+16n2

，
在Rt△DKH中，DK=3m，KH=2n，
根據(jù)勾股定理得：DH=

DK2+KH2

=

9m2+4n2

，
在Rt△FGH中，F(xiàn)G=2m，HG=2n，
根據(jù)勾股定理得：HF=

FG2+HG2

=

4m2+4n2

，
∴S_△DFH=S_矩形DEGK-S_△DEF-S_△DKH-S_△FGH=12mn-

1

2

×m×4n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×2m×2n=5mn．
故答案為：（1）3.5

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理，以及三角形的面積，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，弄清題意，畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．