Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，把△ABC沿x軸向右平移得到△A′B′C′，AB邊上的點(diǎn)O平移到點(diǎn)O′．

（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；

（2）在平移的過程中，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線A′C′的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F落在直線AC上時，求△ABC平移的距離；

（3）在平移過程中，連接CA′，CO′，求△A′CO′周長的最小值．

Answer 1

【答案】(1)B（1，0），C（0，3）；對稱軸是直線x=﹣；

(2)△ABC平移的距離為；

(3)△A′CO′周長的最小值為4+2．

【解析】

試題分析：（1）通過加方程x2﹣x+3=0可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算自變量為0時的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用對稱性可確定拋物線的對稱軸；

（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對稱BM=FM，由平移的定義可知A′M∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可證得AA′=BA′=，從而求得平移的距離為；

（3）過A點(diǎn)作AN⊥x軸，且AN=OC，易證得△NAA′≌△COO′，得出A′N=CO′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)△A′CO′周長的最小時，A′在直線NC上，即∠AA′N=∠CA′O，即可根據(jù)AAS證得△NAA′≌△COA′，得出AA′=OA′，NA′=NA′，然后根據(jù)勾股定理求得CA′=，即可求得三角形周長的最小值．

試題解析：（1）當(dāng)y=0時， x2﹣x+3=0，解得x1=1，x2=﹣4，則A（﹣4，0），B（1，0），

當(dāng)x=0時，y=x2﹣x+3=3，則C（0，3）；

拋物線的對稱軸是直線x==﹣；

（2）∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線A′C′的對稱，∴BM=FM，由平移的定義可知A′M∥AC，

∴==1，∴AA′=BA′=AB，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，

∴AA′=BA′=，∴△ABC平移的距離為；

（3）過A點(diǎn)作AN⊥x軸，且AN=OC，

∴∠NAA′=∠COO′=90°，

在△NAA′和△COO′中，

∴△NAA′≌△COO′（ASA），

∴A′N=CO′，

當(dāng)△A′CO′周長的最小時，A′在直線NC上，

即∠AA′N=∠CA′O，

在△NAA′和△COA′中，

∴△NAA′≌△COA′（AAS），

∴AA′=OA′，NA′=NA′，

∴CA′=CO′，

∵OA=4，

∴AA′=OA′=2，

∴OO′=2，

∴A′O′=4，

∵OC=3，

∴CA′==，

∴△A′CO′周長的最小值為4+2．