Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx﹣3（b是常數(shù)）經(jīng)過點A（﹣1，0）．
（1）求該拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）P（m，t）為拋物線上的一個動點，P關于原點的對稱點為P'．
①當點P'落在該拋物線上時，求m的值；
②當點P'落在第二象限內，P'A2取得最小值時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx﹣3經(jīng)過點A（﹣1，0），

∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線頂點坐標為（1，﹣4）；

（2）

解：①由P（m，t）在拋物線上可得t=m2﹣2m﹣3，

∵點P′與P關于原點對稱，

∴P′（﹣m，﹣t），

∵點P′落在拋物線上，

∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，

∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m= 或m=﹣ ；

②由題意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，

∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，

∵拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），

∴﹣4≤t＜0，

∵P在拋物線上，

∴t=m2﹣2m﹣3，

∴m2﹣2m=t+3，

∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），

∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+ ）2+ ；

∴當t=﹣ 時，P′A2有最小值，

∴﹣ =m2﹣2m﹣3，解得m= 或m= ，

∵m＞0，

∴m= 不合題意，舍去，

∴m的值為 ．

【解析】（1）把A點坐標代入拋物線解析式可求得b的值，則可求得拋物線解析式，進一步可求得其頂點坐標；（2）①由對稱可表示出P′點的坐標，再由P和P′都在拋物線上，可得到關于m的方程，可求得m的值；②由點P′在第二象限，可求得t的取值范圍，利用兩點間距離公式可用t表示出P′A2 ， 再由點P′在拋物線上，可用消去m，整理可得到關于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質可求得其取得最小值時t的值，則可求得m的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識點，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．