Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在BC邊上取一點(diǎn)E，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B落在DC邊上的點(diǎn)F處．
（1）求CF和EF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AF向終點(diǎn)F作勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM∥EF交AE于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥AF交EF于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜10），四邊形PMNF的面積為S，試探究S的最大值？
（3）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為橫軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3，在（2）的條件下，連接FM，若△AMF為等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折對(duì)稱性EF=BE，AF=AB，利用勾股定理求出DF的長(zhǎng)，CF=AB-DF，在△CEF中，設(shè)EF為x，則CE=6-x，利用勾股定理列式求解即可求出EF；
（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PM的長(zhǎng)，矩形的面積等于PM•PF，再根據(jù)二次函數(shù)最值問題求解；
（3）因?yàn)槿�角形的腰不明確，分AM=MF和AM=AF兩種情況討論，①當(dāng)AM=MF時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)AM=AF時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得AB=AF=10，
∵AD=6，
∴DF=8，
∴CF=2．（2分）
設(shè)EF=x，則BE=EF=x，CE=6-x
在Rt△CEF中，2²+（6-x）²=x²
解得，x=

10

3

，
∴EF=

10

3

；（4分）

（2）∵PM∥EF，
∴△APM∽△AFE，
∴

PM

FE

=

AP

AF

即

PM

10 3

=

t

10

，
∴PM=

1

3

t，
∵PMNF是矩形，
∴S=PM•PF=

1

3

t(10-t)=-

1

3

t2+

10

3

t（6分）
∵a=-

1

3

＜0，
∴當(dāng)t=-

b

2a

=5時(shí)，S最大=

25

3

；（8分）

（3）①若AM=FM，則AM=

52+( 5 3 )2

=

5

3

10

，
過點(diǎn)M作MG⊥AB于G，則△AMG∽△AEB，
∴AG=

1

2

AB=5，MG=

1

2

EB=

5

3

，
∴M（5，

5

3

）；（11分）
②若AM=AF=10，過點(diǎn)M作MH⊥AB于H，
由△AMH∽△AEB，得AH=3

10

，MH=

10

，
∴M（3

10

，

10

）．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，

5

3

）或（3

10

，

10

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，主要利用勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題求解，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，熟練掌握各定理和性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．