Question

【題目】如圖，為半圓的直徑，交于，為延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，，交半徑于，連．下列結(jié)論：①；②；③；④為定值．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意可得是的垂直平分線，是的垂直平分線，可得點(diǎn)是的外心，根據(jù)圓周角定理可得∠AEP=2∠ABC，進(jìn)而可判斷①；

連接AC，如圖1，根據(jù)圓周角定理的推論并結(jié)合①的結(jié)論可得點(diǎn)和點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上，于是可判斷②；

連接BE，如圖2，由①知點(diǎn)是的外心，然后根據(jù)圓周角定理即可判斷③；

如圖1，在直角中，利用銳角三角函數(shù)和③的結(jié)論可得，然后將進(jìn)行整理變形即得結(jié)論，進(jìn)而可判斷④，于是可得答案．

解：①∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴是的垂直平分線，

∵是半的直徑，，∴是的垂直平分線，

∴點(diǎn)是的外心，

∵，∴，

∴，故①正確；

②連接AC，如圖1，∵是半的直徑，∴，

∴點(diǎn)和點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上，∴，故②正確；

③連接BE，如圖2，由①知點(diǎn)是的外心，∴，故③正確；

④如圖1，在直角中，，

∴，

∴為定值，是半徑的倍，故④正確．

故選：D．