Question

【題目】(2016·寧夏中考)如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED，若ED＝EC.

(1)求證：AB＝AC；

(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）CD＝

(1)證明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠B＋∠ADE＝180°，∠EDC＋∠ADE＝180°，∴∠B＝∠EDC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；

(2)解：連接AE.∵AB為直徑，∴AE⊥BC.由(1)知AB＝AC，∴AC＝4，BE＝CE＝BC＝.∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△ABC，∴＝，即CE·BC＝CD·AC，∴·2＝4CD，∴CD＝.

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EDC＝∠C，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；

（2）連接AE，由AB為直徑，可證得AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”求出CE的長，然后根據(jù)兩角相等的三角形全等證明△EDC∽△ABC后即可求得CD的長．

試題解析：（1）證明：∵ED＝EC，

∴∠EDC＝∠C．

∵∠B＋∠ADE＝180°，∠EDC＋∠ADE＝180°，

∴∠B＝∠EDC，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC；

（2）解：連接AE．

∵AB為直徑，

∴AE⊥BC．

由（1）知AB＝AC，

∴AC＝4，BE＝CE＝BC＝．

∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，

∴△EDC∽△ABC，

∴＝，

即CE·BC＝CD·AC，

∴·2＝4CD，

∴CD＝．