Question

【題目】如圖，⊙O是以Rt△ABC的直角邊AC 為直徑的圓，與斜邊AB相交于點(diǎn)D，過(guò)D作DH⊥AC，垂足為H，又過(guò)D點(diǎn)作直線交BC于E，使∠HDE = 2∠A．求證：

(1) DE是⊙O的切線；(2) OE是Rt△ABC的中位線．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：(1)連接OD，通過(guò)三角形的外角證出∠HDE =∠HOD，再根據(jù)垂直定義利用等量代換證出∠HDE +∠ODH = 90，即可通過(guò)垂直證明結(jié)論.

(2)通過(guò)全等證出OE∥AB，再根據(jù)O是AC中點(diǎn)，即可得到結(jié)論.

證明：(1) 連結(jié)OD，則OD是⊙O的半徑．

∵　∠HDE = 2∠A，∠DOH = 2∠A，∴　∠HDE =∠HOD．

∵　DH⊥AC，∴　∠DOH +∠ODH = 90，

∴　∠HDE +∠ODH = 90， 即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切線．

(2) ∵　DE是⊙O的切線，

∴　∠ODE = 90，又OC = OD，OE = OE，

∴　△ODE≌△OCE， ∴　∠COE =∠DOE．

又 ∵　∠COD = 2∠A， ∴　∠COE =∠A，

∴　OE∥AB，又AO = OC，

∴　OE是Rt△ABC的中位線．