Question

2．如圖，已知△ABC的邊AB是⊙O的切線，切點為B，AC經(jīng)過圓心O并與圓相交于點D、C．過C作直線CE⊥AB，交AB的延長線于點E．
（1）求證：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=6，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）證明：如圖1，連接OB，由AB是⊙0的切線，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，通過等量代換得到結果；
（2）如圖2，連接BD，通過△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得結果．

解答 解：（1）證明：如圖1，連接OB，
∵AB是⊙0的切線，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；

（2）如圖2，連接BD，OB，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{CE}$，
∴BC²=CD•CE，
∴CD=$\frac{45}{6}$=$\frac{15}{2}$，
∴OB=$\frac{15}{4}$，
∵OB⊥AE，CE⊥AE，
∴OB∥CE，
∴△ABO∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{OB}{CE}$，
∴$\frac{AB}{AB+3}$=$\frac{\frac{15}{4}}{6}$，
∴AB=5．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．