Question

14．如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足為F．
（1）若AC=10，求四邊形ABCD的面積；
（2）求證：CE=2AF．

Answer 1

分析 （1）求出∠BAC=∠EAD，根據SAS推出△ABC≌△ADE，推出四邊形ABCD的面積=三角形ACE的面積，即可得出答案；
（2）過點A作AG⊥CG，垂足為點G，求出AF=AG，求出CG=AG=GE，即可得出答案．

解答 解：
（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠DAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ADE+S_△ACD=S_△ACE=$\frac{1}{2}$×10²=50；   
（2）證明：∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
由△ABC≌△ADE得：
∠ACB=∠AEC=45°，
∴∠ACB=∠ACE，
∴AC平分∠ECF；
過點A作AG⊥CG，垂足為點G，
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF=AG，
又∵AC=AE，
∴∠CAG=∠EAG=45°，
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，
∴CG=AG=GE，
∴CE=2AG，
∴CE=2AF．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，角平分線性質，直角三角形的性質的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，難度適中．