Question

3．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y₁=x和y₂=-2x+6，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在OB上運(yùn)動(dòng)（0＜x＜3），過點(diǎn)P作直線m與x軸垂直．
（1）求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求△COB的面積．
（2）當(dāng)x取何值時(shí)y₁=y₂；當(dāng)x取何值時(shí)y₁＞y₂．
（3）當(dāng)x為1時(shí)，直線m交OC于Q點(diǎn)，求△OPQ的面積．
（4）設(shè)△COB中位于直線m左側(cè)部分的面積為s，求出s與x之間函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y₁=x和y₂=-2x+6，即可求得點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，和△COB的面積；
（2）當(dāng)y₁=y₂時(shí)，x=-2x+6；當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x＞-2x+6，分別解方程和不等式即可得出x的取值情況；
（3）當(dāng)x為1時(shí)，y₁=x=1，進(jìn)而得到Q（1，1），P（1，0），據(jù)此求得△OPQ的面積即可；
（4）有兩種情況：①當(dāng)0＜x≤2，此時(shí)直線m左側(cè)部分是△PQO，由于P（x，0）在OB上運(yùn)動(dòng)，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s與x之間函數(shù)關(guān)系式即可求出；②當(dāng)2＜x＜3，此時(shí)直線m左側(cè)部分是四邊形OPQC，可運(yùn)用割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算求解．

解答 解：（1）在直線y₂=-2x+6中，令y=0，則x=3，
∴B（3，0），即OB=3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴△COB的面積=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（2）當(dāng)y₁=y₂時(shí)，x=-2x+6，
解得x=2，
當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x＞-2x+6，
解得x＞2，
故當(dāng)x取2時(shí)y₁=y₂；當(dāng)x＞2時(shí)，y₁＞y₂；

（3）當(dāng)x為1時(shí)，y₁=x=1，
∴Q（1，1），P（1，0），
∴△OPQ的面積=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；

（4）分兩種情況：
①如圖所示，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，則可得OP=x，EP=x，

此時(shí)s=$\frac{1}{2}$OP×PE=$\frac{1}{2}$x²；

②如圖所示，當(dāng)2＜x＜3時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，則CF=2=OF，EP=-2x+6，PF=x-2，

∴S_△OCF=$\frac{1}{2}$OF×CF=2，
S_梯形EPFC=$\frac{1}{2}$（EP+CF）×FP=$\frac{1}{2}$（-2x+6+2）×（x-2）=-x²+6x-8．
∴S=S_△OCF+S_梯形EPFC=2+（-x²+6x-8）=-x²+6x-6，
綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤2）}\\{-{x}^{2}+6x-6（2＜x＜3）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于三角形綜合題，主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的面積的求法以及一次函數(shù)的應(yīng)用．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)再得出線段的長(zhǎng)．解題的難點(diǎn)在第（4）問，關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，分段求出s與x的關(guān)系式．解題時(shí)注意分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．