Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象分別交于A、C兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0）．其中m＞0．
（1）四邊形ABCD的是平行四邊形．（填寫四邊形ABCD的形狀）
（2）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，3）時(shí)，四邊形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）試探究：隨著k與m的變化，四邊形ABCD能不能成為菱形？若能，請直接寫出k的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正、反比例函數(shù)的對稱性即可得出點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，再結(jié)合點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱，即可得出對角線BD、AC互相平分，由此即可證出四邊形ABCD的是平行四邊形；
（2）由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出n值，進(jìn)而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)以及OA的長度，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出OB=OA，由點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求出m值；
（3）由點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，可得出∠AOB＜90°，而菱形的對角線互相垂直平分，由此即可得知四邊形ABCD不可能成為菱形．

解答 解：（1）∵正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象分別交于A、C兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱，
∴對角線BD、AC互相平分，
∴四邊形ABCD的是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形．
（2）∵點(diǎn)A（n，3）在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴3n=3，解得：n=1，
∴點(diǎn)A（1，3），
∴OA=$\sqrt{10}$．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OB=OA=$\sqrt{10}$，
∴m=$\sqrt{10}$．
（3）四邊形ABCD不可能成為菱形，理由如下：
∵點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，
∴∠AOB＜90°，
∴AC與BD不可能互相垂直，
∴四邊形ABCD不可能成為菱形．

點(diǎn)評 本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出對角線BD、AC互相平分；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出OA=OB；（3）找出∠AOB＜90°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)四邊形對角線的相交情況（互相平分、相等且互相平分、互相垂直平分）來判定圖形的形狀是關(guān)鍵．