【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經(jīng)過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠CAD．
（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半徑．
【答案】（1）證明見解析；（2）2
.
【解析】
試題分析：（1）連接OC，易證∠OCA=∠OAC=∠CAD，從而OC∥AD，推出OC⊥MN，可得出直線MN是⊙O的切線；（2）由條件在Rt△ADC中，可求得AD、AC的長，易證△ADC∽△ACB，利用對應邊成比例求出AB的長，半徑即可求出.
試題解析： （1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∴∠ACO=∠CAD．∽OC∥AD，又∵AD丄MN，∴OC丄MN，∴直線MN是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.∵AD丄MN，∴∠ADC=90°．∵CD=3，∠CAD=30°，∴AD=6，
.∵∠BAC=∠CAD，∠ACB=∠ADC，∴△ABC∽△ACD，∴
=
，
∴
,AB=4，∴⊙O的半徑為2．
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【題目】如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點D′未到達點B時，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點F，連接EF，當四邊形EDD′F為菱形時，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請說明理由．
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【題目】已知拋物線y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m為常數(shù)，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，y1），B（
，y2），C（﹣m，y3）是該拋物線上不同的三點，現(xiàn)將拋物線的對稱軸繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線a，過拋物線頂點P作PH⊥a于H．
（1）用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點坐標；
（2）若無論m取何值，拋物線與直線y=x﹣km（k為常數(shù)）有且僅有一個公共點，求k的值；
（3）當1＜PH≤6時，試比較y1，y2，y3之間的大小．
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【題目】如圖，將矩形ABCD沿GH對折，點C落在Q處，點D落在AB邊上E處，EQ與BC相交于F，若AD＝8 cm，AB＝6 cm，AE＝4cm，則△EBF的周長是______________ cm.
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中．有拋物線
和
.拋物線
經(jīng)過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B．P是拋物線上一點，且在x軸上方．過點P作x軸的垂線交拋物線
于點Q．過點Q作PQ的垂線交拋物線于點
（不與點Q重合），連結(jié)
.設(shè)點P的橫坐標為m．
（1）求a的值；
（2）當拋物線經(jīng)過原點時，設(shè)△
與△OAB重疊部分圖形的周長為l．
①求
的值；
②求l與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當h為何值時，存在點P，使以點O、A、Q、
為頂點的四邊形是軸對稱圖形？直接寫出h的值．
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【題目】閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC=2AE．
小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB=∠BEA，從而可證△ABF≌△BAE（如圖2），使問題得到解決．
（1）根據(jù)閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等的條件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個）
參考小明思考問題的方法，解答下列問題：
（2）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，E為DC的中點，點F在AC的延長線上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的長；
（3）如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD=kDB（其中0＜k＜
），∠AED=∠BCD，求
的值（用含k的式子表示）．
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