Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|． （Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，；
（Ⅱ）若a＞0，求證：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x﹣1|，不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2， ∴ ①，或 ②，或 ③，
解①求得 ≤x＜1，解②求得 1≤x≤2，解③求得2＜x≤ ．
綜合可得，不等式的解集為{x| ≤x≤ }．
（Ⅱ）證明：若a＞0，則f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|≤|（ax﹣1）﹣（ax﹣a）|=|a﹣1|=f（a），
即f（ax）﹣af（x）≤f（a）成立
【解析】（Ⅰ）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）當a＞0時，求得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|，利用絕對值不等式的性質(zhì)可得|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f（a），從而可證結論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號．