Question

【題目】已知：如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C（0，5），另拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，8），M為它的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積S△MCB ．
（3）在坐標(biāo)軸上，是否存在點(diǎn)N，滿足△BCN為直角三角形？如存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），

則有： ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5

（2）

解：令y=0，得（x﹣5）（x+1）=0，x1=5，x2=﹣1，

∴B（5，0）．

由y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，得頂點(diǎn)M（2，9）

如圖1中，作ME⊥y軸于點(diǎn)E，

可得S△MCB=S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC= （2+5）×9﹣ ×4×2﹣ ×5×5=15

（3）

解：存在．如圖2中，

∵OC=OB=5，

∴△BOC是等腰直角三角形，

①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，N1（﹣5，0）．

②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，N2（0，﹣5）．

③當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，N3（0，0）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，0）或（0，﹣5）或（﹣5，0）

【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5），（1，8）三點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式，解方程組即可．（2）先求出M、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)S△MCB=S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC即可解決問題．（3）分三種情①C為直角頂點(diǎn)；②B為直角頂點(diǎn)；③N為直角頂點(diǎn)；分別求解即可．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�