Question

（2011•南充）拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A（m﹣4，0）和B（m，0），與直線y=﹣x+p相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（2m﹣4，m﹣6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且以點(diǎn)P和A，C以及另一點(diǎn)Q為頂點(diǎn)的平行四邊形ACQP面積為12，求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，若點(diǎn)M是x軸下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PQM的面積最大時(shí)，請(qǐng)求出△PQM的最大面積及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直線y=﹣x+p上
∴
，解得：，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），
設(shè)拋物線y=ax²+bx+c=a（x﹣3）（x+1），
∵C（2，﹣3），代入得：﹣3=a（2﹣3）（2+1），
∴a=1
∴拋物線解析式為：y=x²﹣2x﹣3，
答：拋物線解析式為y=x²﹣2x﹣3．
（2）解：AC=3，
AC所在直線的解析式為：y=﹣x﹣1，
∠BAC=45°，
∵平行四邊形ACQP的面積為12，
∴平行四邊形ACQP中AC邊上的高為=2，
過點(diǎn)D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點(diǎn)K，DK=2，
∴DN=4，
∵ACPQ，PQ所在直線在直線ACD的兩側(cè)，可能各有一條，
∴PQ的解析式或?yàn)閥=﹣x+3或y=﹣x﹣5，
∴，
解得：或，
，方程無解，
即P₁（3，0），P₂（﹣2，5），
∵ACPQ是平行四邊形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），
∴當(dāng)P（3，0）時(shí)，Q（6，﹣3），
當(dāng)P（﹣2，5）時(shí)，Q（1，2），
∴滿足條件的P，Q點(diǎn)是P₁（3，0），Q₁（6，﹣3）或P₂（﹣2，5），Q₂（1，2）
答：點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)是P₁（3，0），Q₁（6，﹣3）或P₂（﹣2，5），Q₂（1，2）．

（3）解：設(shè)M（t，t²﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），
過點(diǎn)M作y軸的平行線，交PQ所在直線雨點(diǎn)T，則T（t，﹣t+3），
MT=（﹣t+3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+t+6，
過點(diǎn)M作MS⊥PQ所在直線于點(diǎn)S，
MS=MT=（﹣t²+t+6）=﹣（t﹣）²+，
∴當(dāng)t=時(shí)，M（，﹣），△PQM中PQ邊上高的最大值為，
答：△PQM的最大面積是，，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，﹣）．

解析