Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為正方形OABC的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上.在軸上線段（Q在A的右邊），P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.連接PB，過(guò)P作PB的垂線，過(guò)Q作軸的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)D.連接BD交軸于點(diǎn)E，連接PD交軸于點(diǎn)F，連接PE.

（1）求∠PBD的度數(shù).

（2）設(shè)△POE的周長(zhǎng)為，探索與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍.

（3）令，當(dāng)△PBE為等腰三角形時(shí)，求△EFD的面積.

Answer 1

【答案】(1)∠PBD=45° (2) 　　(3) 或。

【解析】（1）易證BAP≌PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PAD的度數(shù).

（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個(gè)基本圖形，借助于三角形全等由l=EP+PO+EO=(CE+EO)+(AP+PO)=2AO進(jìn)行求解，然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍，最終確定t的取值范圍值；（3）先證明三角形全等，再求出EF，即可得出面積．

解：(1) ∵∠APB+∠PBA=∠APB+∠DPQ=90°

∴∠PBA=∠DPQ

又∵∠BAP=∠PQD=90°,BA=PQ=

∴△BAP≌△PQD

∴BP=PD

又∵BP⊥PD

∴∠PBD=45°

(2)延長(zhǎng)PA至M，使得AM=CE

在△BAM與△BCE中

∵

∴△BAM≌△BCE

∴∠MBA=∠EBC

∵∠EBC+∠ABP=45°

∴∠MBP=∠MBA+∠ABP=45°=∠EBP

在△BPM與△BPE中

∵

∴△BPM≌△BPE

∴EP=MP=MA+AP=CE+AP

又∵l=EP+PO+EO=(CE+EO)+(AP+PO)=2AO

∴　　

(3)EP=EB

∵∠PBD=45°

∴EP⊥EB ，E為BD中點(diǎn)，

即E與C重合，P與O重合

此時(shí)，S△EFD=8，　

PB=PE

∵∠PBD=45°

∴EP⊥PB (不存在)

BP=BE

∵BA=BC

∴△BAP≌△BCE ∴CE=AP=t ∴PE=2t

又∵OE=OP= ∴PE= ∴= 解得：

∵△BAP≌△PQD ∴AP=QD ∴D

∵P ∴ ∴F

∴EF=

此時(shí)，　

綜上所述：或。

“點(diǎn)睛”本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，考查了分類討論的思想，考查了利用基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，綜合性非常強(qiáng)．熟悉正方形與一個(gè)度數(shù)為45°的角組成的基本圖形（其中角的頂點(diǎn)與正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，角的兩邊與正方形的兩邊分別相交）是解決本題的關(guān)鍵．