Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+ x+1（a≠0）與x軸交于A，B兩點，其中點B坐標為（2，0）．

（1）求拋物線的解析式和點A的坐標；
（2）如圖1，點P是直線y=﹣x上的動點，當直線OP平分∠APB時，求點P的坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點C是直線BP上方的拋物線上的一個動點，過點C作y軸的平行線，交直線BP于點D，點E在直線BP上，連結CE，以CD為腰的等腰△CDE的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B（2，0）代入y=ax2+ x+1，

可得4a+1+1=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+1，

令y=0，可得﹣ x2+ x+1=0，解得x=﹣1或x=2，

∴A點坐標為（﹣1，0）

（2）解：若y=﹣x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，

如圖1，若P點在x軸上方，PB與y軸交于點A′，

由于點P在直線y=﹣x上，可知∠POA=∠POA′=45°，

在△APO和△A′PO中 ，

∴△APO≌△A′PO（ASA），

∴AO=A′O=1，

∴A′（0，1），

設直線BP解析式為y=kx+b，

把B（2，0）、A′（0，1）兩點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線BP解析式為y=﹣ x+1，

聯(lián)立 ，解得 ，

∴P點坐標為（﹣2，2）；

若P點在x軸下方時，如圖2，

∠BPO≠∠APO，即此時沒有滿足條件的P點，

綜上可知P點坐標為（﹣2，2）

（3）解：存在，

如圖3，作CH⊥PB于點H，

∵直線PB的解析式為y=﹣ x+1，

∴F（0，1），

tan∠BFO= = =2，

∵CD∥y軸，

∴∠BFO=∠CDF，

tan∠CDF=tan∠BFO= =2，

∴CH=2DH，

設DH=t，則CH=2t，CD= t，

∵△CDE是以CD為腰的等腰三角形，

∴分兩種情況：

①若CD=DE時，則S△CDE= DECH= t2t= ，

②若CD=CE時，則ED=2DH=2t，

∴S△CDE= DECH= 2t2t=2t2，

∵2t2＜ t2，

∴當CD=DE時△CDE的面積比CD=CE時大，

設C（x，﹣ x2+ x+1），則D（x，﹣ x+1），

∵C在直線PB的上方，

∴CD= =（﹣ x2+ x+1）﹣（﹣ x+1）=﹣ =﹣ ，

當x=1時，CD有最大值為 ，

即 t= ，

t= ，

∴S△CDE= = × = ，

存在以CD為腰的等腰△CDE的面積有最大值，這個最大值是 ．

【解析】（1）將點B坐標代入到拋物線的解析式可求得a的值，令y=0，得到關于x的方程，然后解關于x的一元二次方程即可；
（2）當點P在x軸上方時，連接BP交y軸于點A′，然后證明△APO≌△A′PO，依據全等三角形的性質可得到AO=A′O=1，從而可求得A′坐標，然后利用待定系數(shù)法可求得直線BP的解析式，聯(lián)立直線y=-x，可求得P點坐標；當點P在x軸下方時，畫圖可知：∠BPO≠∠APO，即此時沒有滿足條件的P點；
（3）過C作CH⊥DE于點H，由直線BP的解析式可求得點F的坐標，結合條件可求得tan∠BFO和tan∠CDF，可分別用DH表示出CH和CD的長，分CD=DE和CD=CE兩種情況，分別用t表示出△CDE的面積，再設出點C的坐標，利用二次函數(shù)的性質可求得△CDE的面積的最大值.