Question

7．已知，D是△ABC中AB上一點，并且∠BDC=90°，DH垂直平分BC交BC于點H．
（1）試說明：BD=DC；
（2）如圖2，若BE⊥AC于E，與CD相交于點F，試說明：△BDF≌△ACD；
（3）在（1）、（2）條件下，若BE平分∠ABC，試說明：BF=2CE．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得出BH=CH，∠BHD=∠CHD=90°，由SAS證明△BDH≌△CDH，得出對應邊相等即可；
（2）由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出∠DBF=∠DCA，由ASA證明△BDF≌△ACD即可；
（3）由全等三角形的性質(zhì)得出BF=AC，由角平分線得出∠ABE=∠CBE，由ASA△ABE≌△CBE（ASA），得出AE=CE，證出AC=2CE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵DH垂直平分BC，
∴BH=CH，∠BHD=∠CHD=90°，
在△BDH和△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{BH=CH}&{\;}\\{∠BHD=∠CHD}&{\;}\\{DH=DH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CDH（SAS），
∴BD=CD；
（2）證明：∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°=∠BDF，
∵∠BFD=∠CFE，
∴∠DBF=∠DCA，
在△BDFH和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDA}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\\{∠DBF=∠DCA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACD（ASA）；
（3）證明：由（2）得：△BDF≌△ACD，
∴BF=AC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\\{∠BEA=∠BEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE，
∴AC=2CE，
∴BF=2CE．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．