Question

如圖，∠ABC，∠ACB的平分線相交于F，過點F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，連接AF，那么下列結論正確的是
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②∠BFC=90°+∠BAC；
③△ADE的周長為AB+AC；
④AF平分∠BAC．

1. A.
   ①③④
2. B.
   ①②
3. C.
   ①②③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

C
分析：①根據(jù)平分線的性質、平行線的性質，借助于等量代換可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；
②利用兩次三角形的內角和，以及平分線的性質，進行等量代換，可求的∠BFC和∠BAC之間的關系式；
③由①可得△ADE的周長為AB+AC；
④三角形的三條角平分線交于一點，可知AF平分∠BAC．
解答：①∵BF是∠ABC的角平分線，
∴∠ABF=∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DB=DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF=∠EFC，
∴EF=EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°-----（1）
在△BFC中∠CFB+∠FBC+∠FCB=180°
即∠CFB+∠ABC+∠ACB=180°----（2）
（2）×2-（1）得②∠BFC=90°+∠BAC；
③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD=DF，EF=EC，
△ADE的周長=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC；
④∵F是∠ABC，∠ACB的平分線的交點
∴第三條平分線必過其點，即AF平分∠BAC．
故選C．
點評：本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的性質，以及三角形內角和定理解答，涉及面較廣，需同學們仔細解答．