如圖,在直角坐標(biāo)系中,A(-1,0),B(0,2),一動(dòng)點(diǎn)P沿過(guò)B點(diǎn)且垂直于AB的射線BM運(yùn)動(dòng),P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,射線BM與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)求過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(3)若P點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)也同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā),以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),t秒后,以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.(點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)),求t的值.
(4)在(2)(3)的條件下,當(dāng)CQ=CP時(shí),求直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo).
(1)∵A(-1,0),B(0,2),
∴OA=1,OB=2,OB=2OA;
∵∠ABC=90°,易得△ABO△BCO,
∴AO:BO=BO:OC,即OC=2OB=4,
∴C(4,0).

(2)設(shè)拋物線方程為y=ax2+bx+c(a≠0),依題意有:
a-b+c=0
16a+4b+c=0
c=2
,
解得
a=-
1
2
b=
3
2
c=2

∴拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+
3
2
x+2.

(3)∵OB=2,OC=4,
∴BC=2
5
;
則:BP=t,CP=2
5
-t,CQ=t;
①CP=CQ,則有:2
5
-t=t,
解得:t=
5
;
②CQ=QP,過(guò)Q作QM′⊥BC于M′,則有:
CM′=
1
2
(2
5
-t);
易證△CQM′△CBO,
則:
CQ
CB
=
CM′
OC

t
2
5
=
1
2
(2
5
-t)
4

解得:t=
10
4+
5
=
40-10
5
11
;
③CP=PQ,過(guò)P作PN⊥OC于N,則:
CN=
1
2
CQ=
1
2
t;
易證△CNP△COB,則有:
CN
OC
=
CP
CB
,
1
2
t
4
=
2
5
-t
2
5
,
解得t=
8
5
4+
5
=
32
5
-40
11

綜上所述,當(dāng)t=
5
40-10
5
11
32
5
-40
11
時(shí),以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

(4)由(3)知:當(dāng)CP=CQ時(shí),BP=t=
5
=
1
2
BC,即P是BC的中點(diǎn),
∵B(0,2),C(4,0),
∴P(2,1);
∴直線OP的解析式為:y=
1
2
x;
聯(lián)立拋物線的解析式有:
y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
y=
1
2
x

解得
x=1+
5
y=
1+
5
2
,
x=1-
5
y=
1-
5
2
;
∴直線OP與拋物線的交點(diǎn)為(1+
5
,
1+
5
2
),(1-
5
,
1-
5
2
).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AD與拋物線y=-x2+bx+c交于A(-1,0)和D(2,3)兩點(diǎn),點(diǎn)C、F分別為該拋物線與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn).
(1)試求b、c的值和拋物線頂點(diǎn)F的坐標(biāo);
(2)求△ADC的面積;
(3)已知,點(diǎn)Q是直線AD上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)Q與A、D不重合),在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,有人說(shuō)點(diǎn)Q、F重合時(shí)△AQD的面積最大,你認(rèn)為其說(shuō)法正確嗎?若你認(rèn)為正確請(qǐng)求出此時(shí)△AQD的面積,若你認(rèn)為不正確請(qǐng)說(shuō)明理由,并求出△AQD的最大面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

二次函數(shù)圖象過(guò)A、B、C三點(diǎn),點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上,且OB=OC.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式:
(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個(gè)單位,可使平移后所得圖象過(guò)點(diǎn)(1,5),并求出平移后圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),已知A(2,0)、C(1,3
3
),將△OAC繞AC的中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置,拋物線y=ax2-2
3
x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)判斷點(diǎn)B是否在拋物線上;
(3)若點(diǎn)P是x軸上A點(diǎn)左邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)若點(diǎn)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),要使△MAD的周長(zhǎng)最小,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=(x+m)2+k的頂點(diǎn)為(1,-4)
(1)求二次函數(shù)的解析式及圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)將二次函數(shù)的圖象沿x軸翻折,得到一個(gè)新的拋物線,求新拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某商場(chǎng)銷售一種成本為每千克40元的水產(chǎn)品.據(jù)市場(chǎng)分析,按每千克50元銷售,一個(gè)月能售出500千克;在此基礎(chǔ)上,銷售單價(jià)每漲1元,月銷售量就減少10千克.針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況,請(qǐng)解答以下問(wèn)題:
(1)當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí),求月銷售利潤(rùn).
(2)設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元,月銷售利潤(rùn)為y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不寫(xiě)處x的取值范圍).
(3)商場(chǎng)銷售此產(chǎn)品時(shí),要想每月成本不超過(guò)10000元,且月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知,如圖,在直角坐標(biāo)系中O是坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形AOCB是矩形,0C=6,OA=2,P是邊AB上的任意一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)時(shí),是否存在這樣的點(diǎn)P使得OP⊥PC成立?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),畫(huà)出滿足條件的P點(diǎn),并求出經(jīng)過(guò)D、P、C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸;若不存在這樣的P點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

初三(1)班數(shù)學(xué)興趣小組在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,進(jìn)行了如下的課題研究:用一定長(zhǎng)度的鋁合金材料,將它設(shè)計(jì)成外觀為長(zhǎng)方形的三種框架,使長(zhǎng)方形框架面積最大.
小組討論后,同學(xué)們做了以下三種試驗(yàn):

請(qǐng)根據(jù)以上圖案回答下列問(wèn)題:
(1)在圖案(1)中,如果鋁合金材料總長(zhǎng)度(圖中所有黑線的長(zhǎng)度和)為6米,當(dāng)AB為1米,長(zhǎng)方形框架ABCD的面積是______m2
(2)在圖案(2)中,如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為6米,設(shè)AB為x米,長(zhǎng)方形框架ABCD的面積為S=______(用含x的代數(shù)式表示);當(dāng)AB=______時(shí)米,長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大;在圖案(3)中,如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為l米,設(shè)AB為x米,當(dāng)AB是多少米時(shí),長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

為了美化校園環(huán)境,某中學(xué)準(zhǔn)備在一塊空地(如圖,矩形ABCD,AB=10m,BC=20m)上進(jìn)行綠化.中間的一塊(圖中四邊形EFGH)上種花,其他的四塊(圖中的四個(gè)Rt△)上鋪設(shè)草坪,并要求AE=AH=CF=CG.那么在滿足上述條件的所有設(shè)計(jì)中,是否存在一種設(shè)計(jì),使得四邊形EFGH(中間種花的一塊)面積最大?若存在,請(qǐng)求出該設(shè)計(jì)中AE的長(zhǎng)和四邊形EFGH的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由!

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