Question

我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直接坐標系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C₁，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C₂．

（1）求C₁和C₂的解析式；

（2）如圖②，過點B作直線BE：y=x﹣1交C₁于點E（﹣2，﹣），連接OE、BC，在x軸上求一點P，使以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，求出P點的坐標；

（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C₁或C₂上是否存在一點Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標和△EBQ面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數綜合題。

專題：

壓軸題；分類討論。

分析：

（1）已知A、B、C、D四點坐標，利用待定系數法即可確定兩函數的解析式．

（2）根據直線BE：y=x﹣1知，該直線必過（0，﹣1）點，那么∠EBO=∠CBO，若以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，那么夾這組對應角的對應邊必成比例，先求出BC、BO、BE的長，然后分情況根據線段間的比例關系求出BP的長，進而得到OP的長，即可確定P點坐標．

（3）△EBQ中，BE長為定值，若以BE為底，當△EBQ的面積最大時，Q到直線BE的距離最大；由于點Q可能在拋物線C₁或C₂上，因此兩種情況都要解一下，最后通過比較得到能使△EBQ面積最大的Q點．首先作直線l∥BE，分別令直線l與拋物線C₁、C₂有且僅有一個交點，那么符合條件的Q點必在這兩個交點中，先求出這兩個交點分別到直線BE的距離，距離大者符合條件，由此可得到Q點坐標和△EBQ的面積最大值．

解答：

解：（1）由于拋物線C₁、C₂都過點A（﹣3，0）、B（3，0），可設它們的解析式為：y=a（x﹣3）（x+3）；

拋物線C1還經過D（0，﹣3），則有：

﹣3=a（0﹣3）（0+3），a=

即：拋物線C₁：y=x²﹣3（﹣3≤x≤3）；

拋物線C₂還經過A（0，1），則有：

1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣

即：拋物線C₂：y=﹣x²+1（﹣3≤x≤3）．

（2）由于直線BE：y=x﹣1必過（0，﹣1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）；

由E點坐標可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，所以它們的補角∠EOB≠∠CBx；

若以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況：

①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，即：

3：=BP₁：，得：BP₁=，OP₁=OB﹣BP₁=；

∴P₁（，0）；

②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：

：BP₂=3：，得：BP₂=，OP₂=BP₂﹣OB=；

∴P₂（﹣，0）．

綜上，符合條件的P點有：P₁（，0）、P₂（﹣，0）．

（3）如圖，作直線l∥直線BE，設直線l：y=x+b；

①當直線l與拋物線C₁只有一個交點時：

x+b=x²﹣3，即：x²﹣x﹣（3b+9）=0

∴該交點Q₂（，﹣）；

Q₂到直線 BE：x﹣y﹣1=0 的距離：==；

②當直線l與拋物線C₂只有一個交點時：

x+b=﹣x²+1，即：x²+3x+9b﹣9=0

∴該交點Q₁（﹣，）；

Q₁到直線 BE：x﹣y﹣1=0 的距離：=；

∴符合條件的Q點為Q₁（﹣，）；

△EBQ的最大面積：S_max=×BE×=．

點評：

考查了二次函數綜合題．該題的難度和計算量都比較大，涉及了函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、圖形面積的解法等重點知識；解答（2）題時，應注意分不同的對應邊來進行討論，以免漏解．（3）的難度較大，點到直線的距離公式【點（x₀，y₀）到直線（Ax+By+C=0）的距離為：d=】是需要記住的內容．另外，題目在設計時結合了一定的生活元素，形式較為新穎．