5.如圖,已知在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=CD,點(diǎn)O在對(duì)角線AC上,以O(shè)為圓心OA為半徑的⊙O與CD相切于點(diǎn)D.
(1)求證:直線BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為6,CD=8,求弦AD的長(zhǎng).

分析 (1)連接OD,OB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODC=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OBC=∠ODC=90°,于是得到結(jié)論;
(2)過(guò)D作DE⊥AC于E,根據(jù)勾股定理得到OC=10,根據(jù)三角形的面積公式得到DE=$\frac{OD•CD}{OC}$=$\frac{24}{5}$,根據(jù)射影定理得到OD2=OE•OC,求得OE=$\frac{36}{10}$=$\frac{18}{5}$,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)連接OD,OB,
在△ADC與△ABC中,$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{CD=CB}\\{AC=AC}\end{array}\right.$,
∴△ADC≌△ABC,
∴∠1=∠2,
∵CD是⊙O的切線,
∴∠ODC=90°,
在△CDO與△CBO中,$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠1=∠2}\\{OC=OC}\end{array}\right.$,
∴△CDO≌△CBO,
∴∠OBC=∠ODC=90°,
∴OB⊥CB,
∴直線BC是⊙O的切線;

(2)過(guò)D作DE⊥AC于E,
∵∠ODC=90°,OD=6,CD=8,
∴OC=10,
∴DE=$\frac{OD•CD}{OC}$=$\frac{24}{5}$,
∵∠ODC=90°,DE⊥OC,
∴OD2=OE•OC,
∴OE=$\frac{36}{10}$=$\frac{18}{5}$,
∴AE=$\frac{48}{5}$,
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{24}{5})^{2}+(\frac{48}{5})^{2}}$=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì),全等三角形的判斷和性質(zhì),射影定理,勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

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