Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上；線段OB，OC的長(zhǎng)（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-2．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE．當(dāng)△CEF的面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求此時(shí)面積的最大值；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0）．問(wèn)：是否存在這樣的直線l，使得△ODQ是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸可以用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式y(tǒng)=a（x-h）²+b來(lái)設(shè)拋物線的解析式．然后根據(jù)方程x²-10x+16=0，求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式．
（2）本題可通過(guò)設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后列出關(guān)于△CEF的面積和E點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定面積的最大值以及對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可分三種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)DO=DQ時(shí)，根據(jù)A、D、O的坐標(biāo)可知AD=OD，那么此時(shí)AD=OD=DQ，三角形AQO為直角三角形且與△AOC相似．可根據(jù)相似比求出面積比，進(jìn)而求出三角形AOQ的面積．過(guò)Q作AO邊上的高QM，即可根據(jù)三角形AOQ的面積求出QM的長(zhǎng)即Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)．然后代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)DQ=OQ時(shí)，可根據(jù)三角形AQM與三角形ACO相似求出QM的長(zhǎng)即Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后按①的方法即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
③當(dāng)OQ=OD時(shí)，OQ=OD=3，顯然這種情況是不成立的（O到AC的距離為4.8）．
綜合三種情況即可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8．
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）．
又∵拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-2，
∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+2）²+k．
∵點(diǎn)B（2，0），C（0，8）在拋物線上，
解得a=-

2

3

，k=

32

3

，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-

2

3

(x+2)2+

32

3

=-

2

3

x2-

8

3

x+8．

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸（AB），垂足為點(diǎn)G．
由（1）可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）．
∴AB=8，EB=2-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

BE

BA

=

FG

CO

，
即

2-m

8

=

FG

8

，
∴FG=2-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

(2-m)×8-

1

2

(2-m)×(2-m)=-

1

2

(m2+4m-12)=-

1

2

(m+2)2+8．
自變量m的取值范圍是-6＜m＜2，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，S有最大值，S最大值=8．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）．

（3）存在．在△ODQ中，
（Ⅰ）若DO=DQ，
∵A（-6，0），D（-3，0），
∴AD=OD=DQ=3．
∴△AQO是直角三角形．
∴Rt△AOQ∽R(shí)t△ACO，
∴

S△AOQ

S△SCO

=(

AO

AC

)2，
由（1）可知AC=10，S_△ACO=24，
又∵AO=6，
∴S_△AOQ=

216

25

，
作QM⊥x軸（OA），垂足為點(diǎn)M．
則S_△AOQ=

1

2

×6×QM=

216

25

，
∴QM=

72

25

，
即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為

72

25

，
由-

2

3

(x+2)2+

32

3

=

72

25

，
解得x1=-2-

8 3

5

，x2=-2+

8 3

5

，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（-2-

8 3

5

，

72

25

）或P₂（-2+

8 3

5

，

72

25

）．
（Ⅱ）若QO=QD，
則QM是等腰△OQD底邊上的中線．
∴OM=

1

2

OD=

3

2

，
∴AM=

9

2

，
由于Rt△AMQ∽R(shí)t△AOC，
∴

AM

AO

=

QM

CO

，
即

9 2

6

=

QM

8

，解得QM=6即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為6．
由-

2

3

(x+2)2+8=6，
解得x3=-2-

3

，x₄=-2+

3

，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₃（-2-

3

，6）或P₄（-2+

3

，6）．
（Ⅲ）若OD=OQ，則OQ=3，
∵點(diǎn)O到AC的距離是

6×8

10

=4.8，而OQ=3＜4.8，此時(shí)不存在這樣的直線l，使△ODQ是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODQ是等腰三角形．點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（-2-

8 3

5

，

72

25

）或P₂（-2+

8 3

5

，

72

25

）或P₃（-2-

3

，6）或P₄（-2+

3

，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．