Question

9．已知在△ABC中，∠BAC=90°，過點C的直線EF∥AB，D是BC上一點，連接AD，過點D分別作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于點G，H，連接AG．

（1）當∠ACB=30°時，如圖1所示．
①求證：△GCD∽△AHD；
②試判斷AD與DG之間的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）當tan∠ACB=$\frac{4}{5}$時，如圖2所示，請你直接寫出AD與DG之間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠GCM=∠BAC=90°，根據(jù)垂直的定義得到∠ADM=90°，于是求得∠GCA=∠ADM，推出∠DAH=∠CGD，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結論；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，根據(jù)tan∠ACB=$\frac{4}{5}$，即可得到結論．

解答 （1）①證明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，
∴∠GCM=∠BAC=90°，
∵GD⊥AD，
∴∠ADM=90°，
∴∠GCA=∠ADM，
∵∠AMD=∠GMC，
∴∠DAH=∠CGD，
∵∠ADH=∠CDG=90°-∠HDG
∴△GCD∽△AHD；
②解：由①知：△GCD∽△AHD，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，
在Rt△DHC中，
∵∠ACB=30°，
$\frac{DH}{CD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）5AD=4DG，
解：由①知△GCD∽△AHD，
在Rt△DHC中，
∵tan∠ACB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．