Question

5．問題情境：我們知道，兩邊及其中一邊所對的角分別對應相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，這樣的兩個三角形才全等呢？為了研究這個問題，我們先思考下面幾個問題：
（1）已知：線段a、b和∠a，作△ABC，使得∠A=∠a，AC=b，BC=a．
在圖中的方框內(nèi)完成作圖，并在下列橫線上填上適當?shù)奈淖郑?br />作法：①∠MAN=∠a；
②在射線AM上截取線段AC=b；
③以C為圓心、a長為半徑畫弧交射線AN于點B；
④連接CB，則△ACB就是所求作的三角形．
（2）計算：在上述△ABC中，若∠α=30°，a=5，b=8，則三角形第三邊的長度為多少？
（3）在上述作圖和計算中，我們發(fā)現(xiàn)滿足條件的△ABC不唯一，即兩邊及其中一邊所對的角分別對應相等的兩個三角形不一定全等．那么再增加什么條件，便可判定兩個三角形全等．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)作圖要求結(jié)合畫圖過程作圖即可，作出的B點位置不是一個；
（2）過C作CD⊥AN，利用直角三角形的性質(zhì)可得CD長，再根據(jù)勾股定理計算出AD長和BD長，即可得答案；
（3）添加三角形的形狀要求，便可作出唯一的三角形．

解答 解：（1）作法：①∠MAN=∠a；
②在射線AM上截取線段AC=b；
③以C為圓心、a長為半徑畫弧交射線AN于點B；
④連接BC，則△ACB就是所求作的三角形．

（2）過C作CD⊥AN，
∵∠α=30°，b=8，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{3}$，
∵a=5，
∴CB=5，
∴BD=$\sqrt{C{B}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{25-16}$=3，
∴AB=4$\sqrt{3}$+3或4$\sqrt{3}$-3；

（3）再增加三角形為銳角三角形，或三角形為直角三角形，或添加三角形為鈍角三角形的條件，三角形的形狀便可以確定，便可判定兩個三角形全等．

點評 此題主要考查了復雜作圖，以及勾股定理的應用，關(guān)鍵是正確根據(jù)作圖要求畫出圖形，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．