Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象過點O（0，0），A（4，0），B（2，﹣），M是OA的中點．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）設P是拋物線上的一點，過P作x軸的平行線與拋物線交于另一點Q，要使四邊形PQAM是菱形，求P點的坐標；

（3）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關于x軸的對稱點），在原拋物線x軸的上方部分取一點C，連接CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點D．若△CDA的面積是△MDA面積的2倍，這樣的點C是否存在？若存在求出C點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣x．(2) P（1，﹣）．(3) 點C的坐標為（2+2，）或（2﹣2，）．

【解析】

試題（1）利用待定系數法求出二次函數的解析式；

（2）由四邊形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x軸，因此點P、Q關于對稱軸x=2對稱，可得點P橫坐標為1，從而求出點P的坐標；

（3）假設存在滿足條件的點C．由△CDA的面積是△MDA面積的2倍，可得點C縱坐標是點D縱坐標的3倍，由此列方程求出點C的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線過原點，∴設其解析式為：y=ax2+bx．

∵拋物線經過點A（4，0），B（2，﹣），

∴，解得，

∴二次函數解析式為：y=x2﹣x．

（2）∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，

∴拋物線對稱軸為直線：x=2．

∵四邊形PQAM是菱形，

∴PQ=MA=2，PQ∥x軸．

∴點P、Q關于對稱軸x=2對稱，

∴點P橫坐標為1．

當x=1時，y=﹣=﹣．

∴P（1，﹣）．

（3）依題意，翻折之后的拋物線解析式為：y=﹣x2+x．

假設存在這樣的點C，

∵△CDA的面積是△MDA面積的2倍，

∴CD=2MD，∴CM=3MD．

如圖所示，分別過點D、C作x軸的垂線，垂足分別為點E、點F，則有DE∥CF．

∴，

∴CF=3DE，MF=3ME．

設C（x，x2﹣x），

則MF=x﹣2，ME=MF=（x﹣2），OE=ME+OM=x+

∴D（x+，﹣（x+）2+（x+））．

∵CF=3DE，

∴x2﹣x=3[﹣（x+）2+（x+）]，

整理得：x2﹣4x﹣8=0，

解得：x1=2+2，x2=2﹣2．

∴y1=，y2=，

∴存在滿足條件的點C，點C的坐標為（2+2，）或（2﹣2，）．