Question

如圖，BC為⊙O的直徑，以BC為直角邊作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜邊AB與⊙O交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E，DG⊥BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G．
（1）求證：AE=CE；
（2）若AD=4，AE=

5

，求DG的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）首先連接CD，由BC為⊙O的直徑，∠ACB=90°，可得AC是⊙O的切線．又由⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E，根據(jù)切線長定理，可得ED=EC，然后由等角的余角相等，證得∠A=∠2，即可得：AE=CE；
（2）首先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得AC長，然后由勾股定理，求得CD的長，再利用三角函數(shù)，求得DG的長．

解答：（1）證明：連接CD，
∵BC為⊙O的直徑，∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切線．
又∵DE與⊙O相切，
∴ED=EC，
∴∠1=∠3．
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°．
∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
∴ED=EA，
∴AE=CE；

（2）解：∵AE=

5

，
∴AC=2AE=2

5

．
在Rt△ACD中，CD=

AC2-AD2

=2，
∴sinA=

2

2 5

=

5

5

，
∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°，
∴∠A=∠4．
∴sin∠4=sinA=

5

5

，
∴DF=

2 5

5

，
∵DG⊥BC于點(diǎn)F，
∴DG=2DF=

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、三角函數(shù)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．