Question

9．如圖，△AOB是等腰三角形，頂點A的坐標為（2，$\sqrt{5}$），底邊OB在x軸上，將△AOB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后的△A'O'B'，點A的對應點A'在x軸上，則點O'的坐標為（　　）

• A． （$\frac{20}{3}$，$\frac{10}{3}$）
• B． （$\frac{16}{3}$，$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$）
• C． （$\frac{20}{3}$，$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$）
• D． （$\frac{16}{3}$，$4\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 過點A作AC⊥OB于C，過點O′作O′D⊥A′B于D，根據(jù)點A的坐標求出OC、AC，再利用勾股定理列式計算求出OA，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后寫出點O′的坐標即可．

解答 解：如圖，過點A作AC⊥OB于C，過點O′作O′D⊥A′B于D，
∵A（2，$\sqrt{5}$），
∴OC=2，AC=$\sqrt{5}$，
由勾股定理得，OA=$\sqrt{{OC}^{2}{+AC}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+（\sqrt{5}）}^{2}}$=3，
∵△AOB為等腰三角形，OB是底邊，
∴OB=2OC=2×2=4，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，
∴O′D=4×$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
BD=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴OD=OB+BD=4+$\frac{8}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴點O′的坐標為（$\frac{20}{3}$，$\frac{4\sqrt{5}}{3}$），
故選：C．

點評 本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．