Question

（2011•犍為縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=mx²+nx+3經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)（2，3），與x軸的另一交點(diǎn)為C．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一點(diǎn)，且△ACP的面積為10，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D為拋物線上AB段上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），過點(diǎn)D作DE⊥x軸交x軸于F，交線段AB于點(diǎn)E．是否存在點(diǎn)D，使得四邊形BDEO為平行四邊形？若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請通過計算說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將A點(diǎn)坐標(biāo)和（2，3）分別代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=mx²+nx+3，求出m、n的值即可；
（2）求出拋物線的解析式，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出AC的長，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，用含P點(diǎn)縱坐標(biāo)的解析式表示出△ACP的面積，又知道其面積為10，可據(jù)此建立關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)的方程，解方程即可；
（3）先假設(shè)存在四邊形BDEO為平行四邊形，則有DE=BO，設(shè)出D（a，-a²+2a+3），據(jù)此即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，
由DE=y_D-y_E，可得到關(guān)于a的方程，若方程有根，則四邊形BDEO為平行四邊形，否則不是平行四邊形．

解答：解：（1）在y=-x+3中，當(dāng)y=0，x=3，
∴A（3，0）…（1分）
把A（3，0），（2，3）代入y=ax²+bx+3，
得

9a+3b+3=0 4a+2b+3=3

，
解得

a=-1 b=2

，
∴y=-x²+2x+3…（4分），

（2）在y=-x²+2x+3中，當(dāng)y=0時，有-x²+2x+3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴C（-1，0），
∴AC=4  …（5分），
設(shè)P（x_p，y_p）．
∴S_△ACP=

1

2

AC•|yp|=

1

2

×4|yp|=10，
∴|y_P|=5，
又∵P點(diǎn)在x軸下方，
∴y_P=-5…（7分），
∴-5=-x²+2x+3，
∴x₁=4，x₂=-2，
∴P坐標(biāo)為（4，-5）或（-2，-5）…（8分）．

（3）不存在…（9分），
∵DE⊥x軸，OB⊥x軸，
∴DE∥OB．
若四邊形BDEO為平行四邊形，則DE=BO．
設(shè)D（a，-a²+2a+3），
∵E在直線AB：y=-x+3上．
∴E（a，-a+3），
∴DE=y_D-y_E=-a²+2a+3-（-a+3）=-a²+3a．
當(dāng)DE=BO時，有-a²+3a=3．…（11分）
即a²-3a+3=0，△=9-12＜0，
∴方程無實(shí)數(shù)根．…（12分）
即DE≠BO，
∴不存在點(diǎn)D，使四邊形BDEO為平行四邊形．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識，是二次函數(shù)綜合題，不僅涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，還要知道存在性問題的基本思路．