Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑作圓，恰好經(jīng)過點(diǎn)A，并與BC交于點(diǎn)D．
（1）判斷直線CA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB= ，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OA，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∵∠B=30°，

∴∠C=30°，

∴∠AOC=60°，

∴∠OAC=90°，

∴直線CA與⊙O相切；

（2）解：連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，過點(diǎn)O作OF⊥AB，

∵AB= ，

∴AD=OA=OB=OD=4，

∵∠DAE=30°，

∴DE=2，

∴△ABC面積12 ，

扇形AOD面積 ，

△ABO面積4 ，

∴陰影面積 ﹣ ．

【解析】（1）連接OA，由AB=AC，則∠C=∠B=30°，∠AOC=60°，從而得出∠OAC=90°，則直線CA與⊙O相切；（2）連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，過點(diǎn)O作OF⊥AB，可求得AD和DE，即可得出△ABC的面積，再減去扇形AOD和△AOB的面積即可．
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和扇形面積計算公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．