Question

【題目】在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),∠EDF=120°,DE與線段AB相交于點(diǎn)E,DF與線段AC(或AC的延長線)相交于點(diǎn)F.

(1)如圖(1)所示,若DF⊥AC,垂足為F,AB=4,求BE的長;

(2)如圖(2)所示,將(1)中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F,求證:BE+CF=AB;

(3)如圖(3)所示,將(2)中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使DF與線段AC的延長線交于點(diǎn)F,作DN⊥AC于點(diǎn)N,若DN=FN,求證:BE+CF=(BE-CF).

Answer 1

【答案】（1）BE=1；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得出DE⊥AB，從而得到BE的長度；

（2）取AB得中點(diǎn)G，連接DG，得出DG為△ABC的中位線，則DG=DC，∠BGD=∠C=60°，根據(jù)四邊形對角互補(bǔ)得出∠GED=∠DFC，從而得到△DEG≌△DFC，得到BG=CF，得出答案；

（3）取AB得中點(diǎn)G，連接DG，同（2），易證△DEG≌△DFC，得出EG=CF，設(shè)CN=x，根據(jù)Rt△DCN得出CD=2x，DN=x，根據(jù)題意得出EG、BE與x的關(guān)系，從而進(jìn)行證明．

試題解析：（1）由四邊形AEDF的內(nèi)角和為360°，可知DE⊥AB，故BE=2

（2）取AB的中點(diǎn)G，連接DG

易證：DG為△ABC的中位線，故DG=DC，∠BGD=∠C=60°

又四邊形AEDF的對角互補(bǔ)，故∠GED=∠DFC

∴△DEG≌△DFC

故EG=CF

∴BE+CF=BE+EG=BG=AB

（3）取AB的中點(diǎn)G，連接DG

同（2），易證△DEG≌△DFC

故EG=CF

故BE-CF=BE-EG=BG=AB

設(shè)CN=x

在Rt△DCN中，CD=2x，DN=x

在RT△DFN中，NF=DN=x，故EG=CF=（-1）x

BE=BG+EG=DC+CF=2x+（-1）x=（+1）x

故BE+CF=（+1）x+（-1）x=2x

（BE-CF）=[（+1）x-（-1）]=2x

故BE+CF=（BE-CF）