Question

（2012•嘉定區(qū)一模）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）三點(diǎn)（如圖）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求tan∠BAC的值；
（3）若點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在（1）中所求出的二次函數(shù)的圖象上，且以點(diǎn)A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D、E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法列式計算出a、b、c的值，從而得解；
（2）過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形函數(shù)的定義列式進(jìn)行計算即可；
（3）根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得AE∥x軸，從而得到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出CD的長度，再分點(diǎn)D在點(diǎn)C的左邊與右邊兩種情況求解，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
∴

c=3 16a+4b+c=3 a+b+c=0

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3；

（2）如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3），
tan∠BAC=

CM

AM

=

3

1

=3；

（3）∵點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在二次函數(shù)的圖象上，
∴以點(diǎn)A、C、D、E為頂點(diǎn)的平行四邊形中AE∥CD，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3），
∴AE=4-0=4，
根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等CD=AE=4，
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），
∴①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左邊時，AC是對角線，1-4=-3，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0），
②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右邊時，AC是平行四邊形的邊，1+4=5，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0），
綜上所述點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0）或（5，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3）．

點(diǎn)評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，銳角函數(shù)的三角函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，在確定平行四邊形的頂點(diǎn)時，判斷出點(diǎn)E與點(diǎn)B重合是解題的關(guān)鍵．