Question

20．如圖，已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90°，當四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF．
（1）求證：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)四邊形ABCD和EFCG均為正方形，可得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{FC}$=$\sqrt{2}$，∠ACE=∠BCF；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
（2）首先根據(jù)△CAE∽△CBF，判斷出∠CAE=∠△CBF，再根據(jù)∠CAE+∠CBE=90°，判斷出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理，求出EF的長度，再根據(jù)CE、EF的關系，求出CE的長是多少即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{FC}$=$\sqrt{2}$，
又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF．

（2）：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠CBF，$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
又∵$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，AE=2
∴$\frac{2}{BF}$=$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∴EF²=BE²+BF²=3，
∴EF=$\sqrt{3}$，
∵CE²=2EF²=6，
∴CE=$\sqrt{6}$．

點評 此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解決問題的前提．