Question

已知如圖所示，等邊三角形ABC中，AB＝2，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)P可以與A重合，但不與B重合)，過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E；過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F；過點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，設(shè)BP＝x，AQ＝y(tǒng)．

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，探究BP的長度是多少？

(3)當(dāng)線段PE，F(xiàn)Q相交時(shí)，探究線段PE，EF，F(xiàn)Q所圍成三角形的形狀，并直接寫出周長的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝，AB＝BC＝CA＝2． 　　在△BEP中，∵PE⊥BE，∠B＝，∴∠BPE＝． 　　而BP＝x，∴BE＝x，∴EC＝2－x． 　　在△CFE中，∵∠C＝，EF⊥CF， 　　∴∠FEC＝，∴FC＝1－x． 　　同理，在△FAQ中可得AQ＝＋x． 　　而AQ＝y(tǒng)，∴y＝＋x(0＜x≤2)． 　　(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，有AQ＋BP＝AB＝2，∴x＋y＝2． 　　∴ 　　解得x＝． 　　∴當(dāng)BP的長為時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合． 　　(3)探究：△EFG為等邊三角形．如下圖． 　　∵△ABC為等邊三角形．PE⊥BC，EF⊥AC． 　　∴∠B＝∠C＝，∠CEF＝，∴∠GEF＝． 　　同理∠EFG＝，∴△EFG為等邊三角形． 　　當(dāng)P，Q重合時(shí)，△EFG周長最大；當(dāng)P與A重合時(shí)，△EFG的周長最�。� 　　設(shè)三角形EFG的周長為c，得 　　≤c≤． 　　剖析：(1)利用等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，建立x與y的等式；(2)利用(1)的結(jié)論求解；(3)先探究所圍成三角形的形狀，再根據(jù)探究的三角形的性質(zhì)，直接寫出周長變化范圍．