Question

已知如圖所示，等邊三角形ABC中，AB＝2，點P是AB邊上的任意一點(點P可以與A重合，但不與B重合)，過點P作PE⊥BC，垂足為E；過點E作EF⊥AC，垂足為F；過點F作FQ⊥AB，垂足為Q，設BP＝x，AQ＝y．

(1)寫出y與x之間的函數關系式；

(2)當點P與點Q重合時，探究BP的長度是多少？

(3)當線段PE，FQ相交時，探究線段PE，EF，FQ所圍成三角形的形狀，并直接寫出周長的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝，AB＝BC＝CA＝2． 　　在△BEP中，∵PE⊥BE，∠B＝，∴∠BPE＝． 　　而BP＝x，∴BE＝x，∴EC＝2－x． 　　在△CFE中，∵∠C＝，EF⊥CF， 　　∴∠FEC＝，∴FC＝1－x． 　　同理，在△FAQ中可得AQ＝＋x． 　　而AQ＝y，∴y＝＋x(0＜x≤2)． 　　(2)當點P與點Q重合時，有AQ＋BP＝AB＝2，∴x＋y＝2． 　　∴ 　　解得x＝． 　　∴當BP的長為時，點P與點Q重合． 　　(3)探究：△EFG為等邊三角形．如下圖． 　　∵△ABC為等邊三角形．PE⊥BC，EF⊥AC． 　　∴∠B＝∠C＝，∠CEF＝，∴∠GEF＝． 　　同理∠EFG＝，∴△EFG為等邊三角形． 　　當P，Q重合時，△EFG周長最大；當P與A重合時，△EFG的周長最�。� 　　設三角形EFG的周長為c，得 　　≤c≤． 　　剖析：(1)利用等邊三角形的性質，直角三角形的性質，建立x與y的等式；(2)利用(1)的結論求解；(3)先探究所圍成三角形的形狀，再根據探究的三角形的性質，直接寫出周長變化范圍．