Question

已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可繞點B旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中直線CC′和AA′相交于點D．
（1）如圖1所示，當(dāng)點C′在AB邊上時，判斷線段AD和線段A′D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）將Rt△A′BC′由圖1的位置旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）將Rt△A′BC′由圖1的位置按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°≤α≤120°），當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

Answer 1

(1) AD=A′D．證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）60°．

解析試題分析：（1）易證△BCC′和△BAA′都是等邊三角形，從而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，進(jìn)而可以證到AD=DC′=A′D．
（2）易證∠BCC′=∠BAA′，從而證到△BOC∽△DOA，進(jìn)而證到△BOD∽△COA，由相似三角形的性質(zhì)可得∠ADO=CBO，∠BDO=∠CAO，由∠ACB=90°就可證到∠ADB=90°，由BA=BA′就可得到AD=A′D．
（3）當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，有∠AC′B=90°，易證Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），從而可以求出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
試題解析：（1）AD=A′D．
證明：如圖1，

∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，BA=BA′．
∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等邊三角形．
∴∠BAA′=∠BC′C=60°．
∵∠A′C′B=90°，
∴∠DC′A′=30°．
∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
∴∠ADC′=60°．
∴∠DA′C′=30°．
∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．
∴AD=DC′，DC′=DA′．
∴AD=A′D．
（2）AD=A′D
證明：連接BD，如圖2，

由旋轉(zhuǎn)可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′．
∴．
∴△BCC′∽△BAA′．
∴∠BCC′=∠BAA′．
∵∠BOC=∠DOA，
∴△BOC∽△DOA．
∴∠ADO=∠OBC，．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA．
∴∠BDO=∠CAO．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∴∠BDO+∠ADO=90°，即∠ADB=90°．
∵BA=BA′，∠ADB=90°，
∴AD=A′D．
（3）當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，如圖3，

則有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°．
在Rt△ACB和Rt△AC′B中，
．
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．
∴∠ABC=∠ABC′=60°．
∴當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．
考點：1.幾何變換綜合題；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等腰三角形的性質(zhì)；4.等邊三角形的判定與性質(zhì)；5.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；6.相似三角形的判定與性質(zhì)．