Question

【題目】如圖,在△ABC中,點E在AC上,∠AEB=∠ABC.

(1)圖1中,作∠BAC的角平分線AD,分別交CB、BE于D、F兩點,求證:∠EFD=∠ADC；

(2)圖2中,作△ABC的外角∠BAG的角平分線AD,分別交CB、BE的延長線于D、F兩點,試探究(1)中結(jié)論是否仍成立?為什么?

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（1）中結(jié)論仍成立，理由見解析.

【解析】

（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD=∠DAC，再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，進(jìn)而得到∠EFD=∠ADC；

（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD=∠DAG，再根據(jù)等量代換可得∠FAE=∠BAD，然后再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，進(jìn)而得∠EFD=∠ADC．

（1）∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，

又∵∠AEB=∠ABC，

∴∠EFD=∠ADC；

（2）探究（1）中結(jié)論仍成立；理由：

∵AD平分∠BAG，

∴∠BAD=∠GAD，

∵∠FAE=∠GAD，

∴∠FAE=∠BAD，

∵∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，

又∵∠AEB=∠ABC，

∴∠EFD=∠ADC．