6.以原點(diǎn)為圓心,1cm為半徑的圓分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā),沿圓周按順時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)一周,設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為t(t>0)秒.
(1)如圖一,當(dāng)t=1時(shí),直線PQ恰好與⊙O第一次相切,求此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度(結(jié)果保留π).
(2)若點(diǎn)Q按照(1)中速度完成整個(gè)過程,請(qǐng)問t為何值時(shí),以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?(請(qǐng)直接寫出結(jié)果,不必寫出解答過程)

分析 (1)連接OQ,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OQP=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠P的度數(shù),求出∠BOQ,根據(jù)弧長公式求出$\widehat{BQ}$的長,計(jì)算即可;
(2)分B與Q重合、B與C重合和Q在第一、第四象限,根據(jù)切線的性質(zhì)和弧長公式計(jì)算即可.

解答 解:(1)如圖一,連接OQ,
∵直線PQ與⊙O相切,
∴∠OQP=90°,
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),
∴OP=2,又OQ=1,
∴∠OPQ=30°,
∴∠QOP=60°,
∴∠BOQ=30°,
∴$\widehat{BQ}$的長為$\frac{30π×1}{180}$=$\frac{π}{6}$,又t=1,
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為$\frac{π}{6}$;
(2)如圖一,當(dāng)Q與B重合,即t=0時(shí),∠QOP=90°,
當(dāng)Q與C重合,即t=$\frac{π×1}{\frac{π}{6}}$=6時(shí),∠QOP=90°,
由(1)得,t=1時(shí),直線PQ與⊙O相切,∠OQP=90°,
如圖二,直線PQ與⊙O相切時(shí),∠OQP=90°,
由切線長定理可知,∠OPQ=30°,
則∠POQ=60°,
∴∠BOQ=150°,
∴$\widehat{BQ}$的長為$\frac{150π×1}{180}$=$\frac{5}{6}$π,
t=$\frac{5}{6}$π÷$\frac{π}{6}$=5,
綜上所述,t=0或t=6或t=1或t=5時(shí),以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的性質(zhì)、弧長的計(jì)算以及直角三角形的判定和性質(zhì),掌握?qǐng)A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑、靈活運(yùn)用弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵,注意分情況討論思想的應(yīng)用.

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(2)如圖(2)若∠AOC=140°,則∠BOD=40°;
(3)猜想∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系,并結(jié)合圖(1)說明理由.
(4)三角尺AOB不動(dòng),將三角尺COD的OD邊與OA邊重合,然后繞點(diǎn)O按順時(shí)針或逆時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,當(dāng)∠AOD(0°<∠AOD<90°)等于多少度時(shí),這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直,直接寫出∠AOD角度所有可能的值,不用說明理由.

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(3)求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標(biāo);
(4)連結(jié)AC,請(qǐng)問在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△ACQ的周長最小?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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11.九年級(jí)(3)班和(5)班的第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如下表:
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(5)班48121201122
根據(jù)上表分析得出入下結(jié)論:
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③若考試分?jǐn)?shù)≥120分為優(yōu)秀,則(5)班優(yōu)秀的人數(shù)一定多于(3)班優(yōu)秀的人數(shù).
上述結(jié)論正確的(  )
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