Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣ x+2與拋物線y=a （x+2）2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），連接PM，設(shè)線段PM的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，請(qǐng)求出l2與x之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點(diǎn)P，使以A、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A的坐標(biāo)是（0，2），拋物線的解析式是y= （x+2）2．

聯(lián)立直線與拋物線解析式可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5， ）

（2）

解：如圖，P為線段AB上任意一點(diǎn)，連接PM，

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，

設(shè)P的坐標(biāo)是（x，﹣ x+2），則在Rt△PDM中，

PM2=DM2+PD2

即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣ x+2）2= x2+2x+8，

P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故自變量x的取值范圍為：﹣5＜x＜0，

答：l2與x之間的函數(shù)關(guān)系是l2= x2+2x+8，自變量x的取值范圍是﹣5＜x＜0．

（3）

解：存在滿足條件的點(diǎn)P，

連接AM，

由題意得，AM= =2 ，

①當(dāng)PM=PA時(shí)， x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2，

解得：x=﹣4，

此時(shí)y=﹣ ×（﹣4）+2=4，

∴點(diǎn)P1（﹣4，4）；

②當(dāng)PM=AM時(shí)， x2+2x+8=（2 ）2，

解得：x1=﹣ x2=0（舍去），

此時(shí)y=﹣ ×（﹣ ）+2= ，

∴點(diǎn)P2（﹣ ， ），

③當(dāng)PA=AM時(shí)，x2+（﹣ x+2﹣2）2=（2 ）2，

解得：x1=﹣ x2= （舍去），

此時(shí)y=﹣ ×（﹣ ）+2= ，

∴點(diǎn)P3（﹣ ， ），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)為：

P1（﹣4，4）、P2（﹣ ， ）、P3（﹣ ， ），

答：存在點(diǎn)P，使以A、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣4，4）或（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）把x=0代入求出A的坐標(biāo)，求出直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，﹣ x+2），根據(jù)勾股定理求出x即可；（3）連接AM，求出AM，①當(dāng)PM=PA時(shí)，根據(jù)勾股定理得到 x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2 ， 求出方程的解即可；同理②當(dāng)PM=AM時(shí)，求出P的坐標(biāo)；③當(dāng)PA=AM時(shí)，求出P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減�。�