Question

“百誠”公司投資750萬元，成功研制出一種市場需求量較大的產(chǎn)品，并再投入資金1750萬元進行相關(guān)生產(chǎn)設(shè)備的購買．已知生產(chǎn)過程中，每件產(chǎn)品的成本為60元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為120元時，年銷售量為24萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設(shè)銷售單價為x（元）（x＞120），年銷售量為y（萬件），第一年年獲利（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資）為z（萬元）．
（1）請直接寫出y與x之間，z與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

 

，

 

；
（2）計算銷售單價為200元時的第一年年獲利，請問公司此時虧損還是盈利？并說明為了得到同樣的年獲利，銷售單價還可以定為多少元？
（3）公司計劃：在第一年按年獲利最大時確定的銷售單價進行銷售；第二年后總獲利要不低于1840萬元．請說明，第二年的銷售單價x應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)．

Answer 1

分析：（1）由題意根據(jù)單價之間的關(guān)系，銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資，列出y與x，z與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）把x=200代入函數(shù)式求出z；（3）在第一年按年獲利最大時確定的銷售單價進行銷售，根據(jù)z與x的關(guān)系式，配方求出最值；第二年后總獲利要不低于1840萬元，令z≤1840解出x值的范圍．

解答：解：由題意得：
（1）y=24-

x-120

10

，即：y=-

1

10

x+36，
z=-

1

10

x2+42x-4660；
（2）當x取200時，z=-

1

10

×2002+42×200-4660=-260
此時公司虧損了260萬元
因為此拋物線的對稱軸為x=210
所以當x=220時，也能獲得同樣的年獲利
（3）z=-

1

10

(x-210)2-250
∴當x=210時，z取最大值，最大值為-250，
也就是說：當銷售單價定為210元時，年獲利最大，并且到第一年年底公司還差250萬元就可收回全部投資
第二年的銷售單價定為x元，
則年獲利為z=(-

1

10

x+36)(x-60)
=-

1

10

x2+42x-2160=-

1

10

(x-210)2+2250，
當z年獲利為1840萬時，
即z=1840+250=2090，
所以令2090=-

1

10

(x-210)2+2250，
解得x₁=170，x₂=250，
當170≤x≤250時，z≥2090，
∴第二年的銷售單價應(yīng)確定在不低于170元且不高于250元的范圍內(nèi)．

點評：此題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題，看似復(fù)雜其實比較簡單．