Question

【題目】如圖，⊙O為等腰△ABC的外接圓，直徑AB=12，P為上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），直線(xiàn)CP交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，⊙O在點(diǎn)P處切線(xiàn)PD交BQ于點(diǎn)D，下列結(jié)論：①若∠PAB=30°，則的長(zhǎng)為π；②若PD∥BC，則AP平分∠CAB；③若PB=BD，則PD=6；④無(wú)論點(diǎn)P在上的位置如何變化，CPCQ為定值．其中正確的是________________．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①根據(jù)∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的長(zhǎng)；②根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)以及垂徑定理，即可得到，據(jù)此可得AP平分∠CAB；③根據(jù)BP=BO=PO=6，可得△BOP是等邊三角形，據(jù)此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到，即CPCQ=CA2，據(jù)此可得CPCQ為定值．

如圖，連接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，

∴∠POB=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴弧的長(zhǎng)為=2π，故①錯(cuò)誤；

∵PD是⊙O的切線(xiàn)，

∴OP⊥PD，

∵PD∥BC，

∴OP⊥BC，

∴，

∴∠PAC=∠PAB，

∴AP平分∠CAB，故②正確；

若PB=BD，則∠BPD=∠BDP，

∵OP⊥PD，

∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等邊三角形，

∴PD=OP=6，故③正確；

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

又∵∠ABC=∠APC，

∴∠APC=∠BAC，

又∵∠ACP=∠QCA，

∴△ACP∽△QCA，

∴，即CPCQ=CA2（定值），故④正確；

故答案為：②③④．