Question

已知正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別是OB、OC上的動點，

（1）如果動點E、F滿足BE=CF（如圖）：

①寫出所有以點E或F為頂點的全等三角形（不得添加輔助線）；

②證明：AE⊥BF；

（2）如果動點E、F滿足BE=OF（如圖），問當AE⊥BF時，點E在什么位置，并證明你的結(jié)論．

 

 

Answer 1

（1）①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA

②見解析

（2）見解析

【解析】（1）①根據(jù)正方形性質(zhì)及BE=CF即可得出全等的三角形，②根據(jù)全等三角形及正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論。

（2）根據(jù)正方形性質(zhì)及已知條件由ASA得出△ABE≌△BCF，即可由等量代換得證。

（1）①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA

②證明：如圖，延長AE 交BF 于點M，

∵ABCD 是正方形，∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE。

∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）。∴∠CBF＝∠BAE

∵∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°，

∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE ＝90°。

∴∠AMB＝90°。∴AE⊥BF。

（2）點E 是OB 的中點。證明如下：

∵ABCD 是正方形，∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE。

∵AE⊥BF，∴∠AMB＝90°。∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE ＝90°。

∴∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°。∴∠CBF＝∠BAE。∴△ABE≌△BCF（ASA）。

∴BE＝CF。

∵BE＝OF，∴CF＝OF。

又∵OB＝OC，∴BE=OE。∴點E是OB 的中點。